母分散が未知の場合の、サンプルの材料強度の変化有無についての推定

[問題]

あるラインの金属材料の強度の母平均は100.0であった。特性向上を目的に製造条件の変更を行い、サンプル10個の強度を測定しその平均は101.6であった。

 

この変更によって材料強度が高くなったかどうかを有意水準5%で検定せよ。

 

 [回答] 

μ₀=100,サンプル数n=10, サンプルの材料強度の平均X=101.6

サンプルの平方和S=116.4

サンプルの分散=S/(n-1)=116.4/9=12.93

 

 

[仮説の設定]

H₀:帰無仮説 μ=μ₀(μ₀=100.0)

H₁:対立仮説 μ>μ₀

有意水準と棄却域の設定]

α=0.05

R:t₀≧t(Φ,2α)=t(9,0.10)=1.833

[検定統計量の計算]

X=101.6

t₀=(X-μ₀)/√12.93/10=(101.6-100)/√1.293=1.6/1.137=1.407

[判定]

t₀=1.407<t(9,0.10)=1.833

よって、有意水準5%で有意でない(材料強度に変化なし)

 

[母平均の推定]

点推定

X=101.6

区間推定(信頼度95%)

X±t(9,0.05)×√V/n=101.6±2.262×1.137=101.6±2.572=104.17,99.03

 

出典:QC検定受験テキスト2級(日科技連)P190~192

 

 

1つの母平均に関する検定と推定

[問題]

ある製品の出力は、平均値5.10mV、標準偏差は0.083mVであった。今回改善を行って9個の出力は下記の結果であった。

5.25、5.37、5.32、5.11、5.17、5.20、5.18、5.22、5.35 

 

この改善によって出力の平均値が上がったかどうかを有意水準5%で検定し、改善後の母平均を信頼率95%で推定せよ。

 

 [回答] 

9個の平均X=(5.25+5.37+5.32+5.11+5.17+5.20+5.18+5.22+5.35)/9=5.241

[仮説の設定]

H₀:帰無仮説 μ=μ₀

H₁:対立仮説 μ>μ₀

有意水準と棄却域の決定]

α=0.05

R:u₀≧u(2α)=u(0.10)=1.645

[検定統計量の計算]

X=5.241(mV)

u₀=(X-μ₀)/√0.083²/9=(5.241-5.10)/0.0277=5.090

[判定]

u₀=5.090>1.645

よって、有意水準5%で有意(改善効果あり)

 

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[点推定]

X=5.241(mV)

[区間推定(信頼率95%)]

XL =X-u(0.05)×σ/√n=5.241-1.96×0.083/√9=5.241-0.0542=5.187(mV)

XU=X+u(0.05)×σ/√n=5.241+1.96×0.083/√9=5.241+0.0542=5.295(mV)

 

 出典:QC検定2級模擬問題集(電気書院)P64~67

分散の加法性

[例題]

・焼き菓子の製造。

・お菓子をランダムに6個、1箱に詰めて出荷。

・お菓子1個はN₁(50.00g,1.5²g)の正規分布

・箱はN₂(5.00g,0.50²g)の正規分布

 

①6個箱入りお菓子の総重量の母平均、母標準偏差は。

・母平均=50.00×6+5.00=305.00g

・母標準偏差の前に母分散を求める

 <分散の加法性より右計算で求められる> σ²=1.5²×6+0.5²=13.5+0.25=13.75

よって母標準偏差は√σ²=√13.75=3.71(g)

 

②箱入りお菓子の総重量下限値は295.00gである。不適合品の出る確率は。

求める確率Pは、u=(295-305)/3.71で標準化すると、

u=-2.695となる。片側の正規分布表でu=Kp=2.695の時のPは、0.0035

不適合品の出る確率P=0.35(%)

 

③不適合品の出る確率を0.1%以下にするには、お菓子1個の重量の母平均を何gにすればよいか。(ただしお菓子の重量の母標準偏差と、箱の母平均、母標準偏差は変わらないものとする)

 

PからKpを求める。正規分布表より、P=0.001の時のKpの値は、3.09である

今回は、標準正規分布のグラフの右側(マイナス側)なので、Kp→u=-3.09とおく

よって、(295-μ)/3.71=‐3.09  これをμについて解くと、

295-μ=3.71×-3.09

-μ=-295-11.4639

μ=306.464

 

箱の重量を引いてお菓子1個当たりの母平均を求める。

(306.464-5)/6=50.244g

 

お菓子1個当たりの母平均を50.244g以上にすればいい。

 

出典:QC検定受験テキスト2級(日科技連)P178~179

 

 

大数の法則と中心極限定理

大数の法則

母平均μ、母分散σ²の母集団からの大きさnのランダムサンプルの平均値の期待値と分散は、Ex(X)=μ、V(X)=σ²/nとなる。

 すなわち、平均値の分散は母集団の分散の1/n倍となる。nを大きくすれば、平均値X

のばらつきV(X)はどんどん小さくなる。この、サンプリングの数nを大きくすればするほどXのばらつきが限りなく小さくなることを大数の法則という。

 

中心極限定理

任意の分布に従う確率変数の和は、正規分布に近似できる。これを中心極限定理という。Xiは互いに独立に、同一の分布に従い、E(Xi)=μ、V(Xi)=σ²とすると、十分大きいnについて、近似的に、∑Xiは、正規分布N(nμ,nσ²)に従う。これを平均値Xに標準化すると、

 

X~N(μ,σ²/n) となる。

 

中心極限定理は二項分布やポアソン分布の離散分布についても成立する。

 

出典:QC検定受験テキスト2級(日科技連)P175~176

 

標準化

確率変数Xが正規分布N(μ,σ²)に従うとき、XをU=(X-μ)/σ と変換すると、確率変数UはN(0, 1²)の標準正規分布に従う。この変換を標準化という。

 

例題1:

あるクラスの生徒の身長のデータにおいて、

母平均が165(㎝)、標準偏差が10(㎝)の正規分布に従っている場合、

生徒の身長が150~175㎝の間である確率を求めよ。

 

回答1:

標準化→付表でP(u1、u2がKp以上の値となる確率)を求める。

u1=(150-165)/10=-1.5

u2=(175-165)/10=1.0

 

付表より、P1=150㎝以下の確率=0.0668

     P2=175㎝以上の確率=0.1587

したがって、1-0.0668-0.1587=0.7745

 

よって求める確率は77.5%となる。

 

例題2:

ある製品の電流値の規格値は、350±50mAである。この電流値はN(350,16.8²)の正規分布に従っている。最近、下限規格から外れる製品が発生しているため、この電流値を測定した結果、平均値は332mAであった。下限規格外れの確率を求めよ。

 

回答2:

標準化を行う。

 

U=(300-332)/16.8=-1.905

付表より、Kp(=U)から求める確率Pは2.87%である。

 

出典:QC検定受験テキスト2級(日科技連)P171

   QC検定2級模擬問題集(電気書院) P40

 

標準正規分布

標準正規分布(平均:0、標準偏差:1)において、確率変数uがとある値(一般的にはKpと呼ばれる)以上の値をとる確率をPとする。

 

[例題1]uが1以上の値をとる確率を求める

 

(1)付表から読み取る

 

 

Kp=1.0の時、P=0.1587

 

(2)エクセル関数「NORMDIST」を使用

 

=1-NORMDIST(1,0,1,TRUE)

0.158655

 

標準正規分布上では、uが1以上の値になる確率は16%程度である。

 

[例題2]uが-1以上1以下の値をとる確率を求める

 

例題1の(1)の結果から、uが-1より小さい値をとる確率も0.1587

よって、1-0.1587×2=0.6826 よって約68%程度である。

 

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基本の中の基本ですが、頭にイメージを浮かべて、定着させることを狙っています。

 

 

5歳の息子、親の不安がうつった?

今日もまた、夕食時に5歳の息子が将来のことを悲観的に話していたようです。

 

私は残業のためその場に居合わせなかったのですが、また「死」などの「ネガティブワード」を訴えてきたようです。

 

息子が寝てから、家内とそんなことを息子がなぜ考えるようになったのか、一緒に考えました。

 

 1.先日も述べた祖父母の死をまじまじと見たこと

 2.親の不安が子どもにうつった(親の不安は子どもにうつりやすいそうです)

 3.仲の良い友達とクラスが分かれた(新しいクラスで友達が作れない)

 4.生来、息子は引っ込み思案な性格

 

といったところが出てきました。

 

1.については、先日も書いた通り、高齢社会の現実が子どもをうつな気分にさせているのではないか。

 

2.については、私のことです。会社で思うように仕事をこなせないときに、家族の中で不安を隠しきれないときがあります。そんな姿を見て、子どもが将来のことをネガティブに考えこんでしまったかな?

 

3.息子と非常に仲が良かった友達が、年長になってクラスが分かれてしまい、新しいクラスで新しい友達ができていないようです。子供にとって、仲の良い友達とクラスが離れることって、事件ですよね。そのショックから立ち直れていないのか?

 

4.息子は来客があってもすぐに家内の背中に隠れて、何も話そうとしないなど、人見知りです。本日は、友達が間違えて息子の席に座っても、「そこ、僕の席だよ」の一言が言えず、もんもんとしていたと聞きました。

 

言葉を覚え、コミュニケーションの仕方をこれから学んでいく中で、日々壁にぶち当たっているのはいいことだと思いますが、気分がうつにならないといいですね。仲の良い友達とクラスで離れても、新しい友達を作る方向で考えられるようになってほしい。

 

家内と息子の変化について話すのは楽しいですが、必死で生きている息子に手を差し伸べられるような親になりたいと思います。